Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form ${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1}$. Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer ${\displaystyle C_{1}=3}$ alle Zahlen dieser Form bis ${\displaystyle C_{99}}$ zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich ${\displaystyle C_{53}}$ konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle ${\displaystyle C_{n}}$ bis ${\displaystyle n=200}$ zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für ${\displaystyle n=141}$.

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass ${\displaystyle C_{141}}$ eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle C_{141}}$ alle Cullen-Zahlen von ${\displaystyle C_{1}}$ bis ${\displaystyle C_{1000}}$ zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, dass ${\displaystyle C_{4713},C_{5795},C_{6611}}$ und ${\displaystyle C_{18\;\!496}}$ ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen ${\displaystyle C_{n}}$ mit ${\displaystyle n\leq 30\;\!000}$ zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen ${\displaystyle C_{n}}$ für folgende ${\displaystyle n}$ bekannt:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … (Folge A005849 in OEIS)

Die bis dato größte bekannte Cullen-Primzahl ist somit ${\displaystyle C_{6\;\!679\;\!881}=6\;\!679\;\!881\cdot 2^{6\;\!679\;\!881}+1}$, sie hat 2 010 852 Stellen. Sie wurde am 25. Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.^[1][2]

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis ${\displaystyle n<13\;\!705\;\!481}$ gibt.^[3] Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt. Es ist noch nicht bekannt, ob ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle C_{n}}$ gleichzeitig prim sein darf.^[4]

Fast alle Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen.^[4] Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form ${\displaystyle p=2n-1}$, wobei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl der Form ${\displaystyle p=8k\pm 3}$ sein muss.^[3] Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man außerdem folgern, dass, wenn ${\displaystyle p}$ eine ungerade Primzahl ist, ${\displaystyle p}$ ein Teiler von ${\displaystyle C_{m(k)}}$ sein muss mit ${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)\cdot (p-1)-k}$ für ${\displaystyle k\geq 0}$.^[4]

Weiters konnte folgendes gezeigt werden:

Die Primzahl ${\displaystyle p}$ teilt die Cullen-Zahl ${\displaystyle C_{\frac {p+1}{2}}}$, wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=-1}$ ist.^[4]

Die Primzahl ${\displaystyle p}$ teilt die Cullen-Zahl ${\displaystyle C_{\frac {3p-1}{2}}}$, wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=+1}$ ist.^[4]

Zahlen der Form ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$ mit ${\displaystyle n+2>b}$ bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Cullen-Primzahl.^[4]

Die kleinsten ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$ prim ist, sind für aufsteigendes ${\displaystyle b}$ = 1, 2, …:

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, … (Folge A240234 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von ${\displaystyle b}$ zwischen 1 und 30.^[5][6] Diese ${\displaystyle n}$ wurden zumindest bis 100 000 untersucht. Wenn für ${\displaystyle n}$ die Bedingung ${\displaystyle n+2>b}$ nicht gilt, aber trotzdem die Zahl ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$ prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist ${\displaystyle 2\;\!525\;\!532\cdot 73^{2\;\!525\;\!532}+1}$. Sie hat 4 705 888 Stellen und wurde am 28. August 2021 von Tom Greer, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.^[7][8]

• Woodall-Zahl

• J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

• Cullen Numbers
• Woodall Numbers

1. ↑ PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1. PrimeGrid, abgerufen am 2. November 2016. 
2. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Cullen primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018. 
3. ↑ ^{a b} Weisstein, Eric W.: Cullen Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016. 
4. ↑ ^{a b c d e f} Chris K.Caldwell: Cullen Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016. 
5. ↑ Generalized Cullen primes n bⁿ+1. Abgerufen am 1. Mai 2016 (Liste der verallgemeinerten Cullen-Primzahlen mit Basis 3 bis 100). 
6. ↑ Liste der verallgemeinerten Cullen-Primzahlen mit Basis 101 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016. 
7. ↑ Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 2525532· 73^2525532 + 1. Prime Pages, abgerufen am 4. September 2021. 
8. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Cullen. Prime Pages, abgerufen am 4. September 2021.