Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen
und
ist er definiert als
[1]
Dabei ist
die Fakultät von
bzw. analog
die Fakultät von
.
Für
und
muss
sein und man erhält als Spezialfall den Binomialkoeffizienten
.
Eigenschaften
Multinomialkoeffizienten sind stets ganzzahlig.
Sie lassen sich aus verschiedene Arten darstellen, zum Beispiel auch mithilfe von Binomialkoeffizienten als
.
Anwendungen und Interpretationen
Multinomialsatz
Multinomialkoeffizienen treten auf, wenn man ein Multinom, also eine Summe mit mehr als zwei Summanden potenziert. In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt nämlich nach dem Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz)
.
Hieraus folgt sofort:
![{\displaystyle \forall r\in \mathbb {N} :r^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot 1^{k_{1}}\dotsm 1^{k_{r}}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c7c69a080085bcea4038667fcb7e23c586a898)
Multinomialverteilung
Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung
,
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.
Kombinatorische Deutungen
Objekte in Kisten
Der Multinomialkoeffizient
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an,
(unterscheidbare) Objekte in
Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau
Objekte sollen, in die zweite Schachtel
Objekte usw.
Beispiel
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?
Da es sich um
Objekte handelt, die in
Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je
Objekte und in die vierte Schachtel
Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:
![{\displaystyle {32 \choose 10,\,10,\,10,\,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2795a98105056253077f9932054c1b1daf614545)
Anordnung von Dingen
Der Multinomialkoeffizient
gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von
Objekten an, von denen
gleich sind.[2]
Beispiel
Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?
Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, elf Buchstaben (
) anzuordnen, wobei das "M" einmal (
), das "I" sowie das "S" jeweils viermal (
) und das "P" zweimal (
) vorkommt. Diese Anzahl beträgt
![{\displaystyle {\binom {11}{1,4,4,2}}={\frac {11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}}=34.650.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab1faabacd7f8a3b4f9cc1c78cb8c6eb726b335)
Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf paarweise verschiedene Objekte anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.
Pascalsche Simplizes
Analog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die
-ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu
-dimensionalen pascalschen Simplizes.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Multinominal Coefficient. In: MathWorld (englisch).
- Norbert Henze: Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz In: KIT-Bibliothek Medienportal
Einzelnachweise
- ↑ Tilo Arens et al.: Mathematik. 5. Auflage. Springer, Berlin 2022, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 93.
- ↑ Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-27787-3, S. 19.