Möbius-kuvaus

Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

Möbius-kuvaukset ovat muotoa

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Möbius-kuvaukset on määritelty laajennetulta kompleksitasolta itselleen. Bilineaarinen kuvaus on erikoistapaus Möbius-kuvauksesta. Möbius-kuvaukset ovat saaneet nimensä saksalaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän August Ferdinand Möbiuksen mukaan.

Möbius-kuvaukset ovat muotoa

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat kompleksilukuja, jotka toteuttavat ehdon ad − bc ≠ 0. Möbius-kuvaukset on määritelty konformaaleina kaikkialla paitsi kun ${\displaystyle z=-d/c}$, jolloin on määritelty, että ${\displaystyle f(z)=\infty }$. Ne ovat konformisia bijektioita ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$→${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }},}$ missä ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ tarkoittaa laajennettua kompleksitasoa ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ eli kompleksitasoa, johon on lisätty äärettömyyspiste. Laajennettua kompleksitasoa kutsutaan myös Riemannin palloksi.

Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta, venytyksestä ja kierrosta sekä inversiosta, missä operaatio "siirto" on muotoa
${\displaystyle w=z+a}$, operaatio "venytys ja kierto" on muotoa ${\displaystyle w=az}$ ja operaatio "inversio" on muotoa ${\displaystyle w=1/z.}$ Möbius-kuvaukset kuvaavat suorat ja ympyrät joko suoriksi tai ympyröiksi siten, että operaatio "inversio" saattaa muuttaa suoran ympyräksi tai päinvastoin. Konformikuvauksina Möbius-kuvaukset säilyttävät kulmat.

Möbius-kuvaukset säilyttävät pisteiden välisen kaksoissuhteen:
Olkoot a₁, a₂, a₃ ja a₄ kompleksilukuja, joille a_j ≠ a_k kun j ≠ k. Tällöin näiden kaksoissuhde on luku

${\displaystyle [a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]={\frac {(a_{1}-a_{2})(a_{3}-a_{4})}{(a_{1}-a_{3})(a_{2}-a_{4})}}.}$

Jos jokin a_i = ∞ on kaksoissuhde määriteltäva raja-arvona, kun a_i → ∞.
Möbius-kuvaukset säilyttävät kaksoissuhteen, eli siis Möbius-kuvauksessa w = f(z)
[w, w₁, w₂, w₃] = [z, z₁, z₂, z₃].

Möbiuskuvaukset muodostavat ryhmän, niin sanotun Möbius-ryhmän, kuvausten yhdistämisen suhteen.

Seuraavassa esimerkissä käytetään hyväksi Möbius-kuvausten ominaisuutta säilyttää pisteiden välinen kaksoissuhde:
Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie origokeskisen yksikkökiekon D(0, 1) ylemmälle puolitasolle. Käytetään kaksoissuhdetta. Kiinnitetään yksikkökiekon reunapisteet z₁ = 1, z₂ = i, z₃ = -1 ja ylemmän puolitason reunapisteet w₁ = -1, w₂ = 0, w₃ = 1. Pisteiden kiinnityksessä on huomioitu niiden järjestys alueisiin nähden, eli kuljettaessa pisteestä z₁ pisteen z₂ kautta pisteeseen z₃ jää yksikkökiekko vasemmalle puolelle ja kuljettaessa pisteestä w₁ pisteen w₂ kautta pisteeseen w₃ jää ylempi puolitaso vasemmalle puolelle. Sopiva kuvaus saadaan ratkaisemalla w yhtälöstä

${\displaystyle {\frac {(w-w_{1})(w_{2}-w_{3})}{(w-w_{2})(w_{1}-w_{3})}}={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{2})(z_{1}-z_{3})}}}$

missä w₁, w₂, w₃, z₁, z₂ ja z₃ ovat edellä kiinnitetyt pisteet. Saamme

${\displaystyle {\frac {(w+1)(0-1)}{(w-0)(-1-1)}}={\frac {(z-1)(i+1)}{(z-i)(1+1)}}}$ ⇔ ${\displaystyle {\frac {w+1}{2w}}={\frac {(z-1)(i+1)}{2(z-i)}}}$ ⇔

${\displaystyle (w+1)(z-i)=w(z-1)(i+1)}$ ⇔

${\displaystyle wz-iw+z-i=zwi+zw-iw-w}$ ⇔ ${\displaystyle z-i=w(iz-1)}$ ⇔

${\displaystyle w={\frac {z-i}{iz-1}}}$

• Funktioteoria
• Laajennettu kompleksitaso

• R. Hurri-Syrjänen: Funktioteoria 1 (Luentomuistiinpanot)
• L. Myrberg:Funktioteoria 1 ja 2, osa 1 Limes ry 1971
• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).