Rationaalijuurilause

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$

voi olla.

Lause sanoo, että jos a₀ ja a_n eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa kertoimen a₀ ja q jakaa kertoimen a_n.

Olkoon ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ yhtälön ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ juuri ja kertoimet a_n,a_n-1,...,a₀ kokonaislukuja.

Tällöin pätee ${\displaystyle f\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}$ Siirtämällä vakiotermi a₀ toiselle puolelle yhtälöä ja kertomalla puolittain termillä qⁿ saadaan yhtälö muotoon

${\displaystyle \qquad p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.}$

Nyt siis p jakaa tulon ${\displaystyle -a_{0}q^{n}}$. Koska p:n ja q:n suurin yhteinen tekijä on 1, p ei jaa q:ta eikä myöskään lukua qⁿ. Siis p jakaa luvun a₀.

Siirtämällä korkeimman asteen termi oikealle puolelle voidaan päätyä vastaavasti yhtälöön

${\displaystyle \qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n},}$

josta puolestaan voidaan päätellä, että luvun q täytyy jakaa luku a_n. ^[1]

Tarkastellaan yhtälöä ${\displaystyle P(x)=3x^{3}-7x^{2}+4}$ ja tutkitaan, onko sillä rationaalijuurta p/q. Rationaalijuurilauseen perusteella p jakaa vakiotermin 4 ja q jakaa korkeimman asteen termin 3. Nyt siis ${\displaystyle p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 4\}}$ ja ${\displaystyle q\in \{\pm 1,\pm 3\}}$. Yhdistämällä tiedot voidaan päätellä mahdollisen rationaalijuuren kuuluvan joukkoon ${\displaystyle \{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm {\tfrac {1}{3}},\pm {\tfrac {2}{3}},\pm {\tfrac {4}{3}}\}}$. Sijoittamalla juuret yhtälöön voidaan kokeilemalla huomata, että ${\displaystyle P(2)=P(1)=P(-{\tfrac {2}{3}})=0.}$ Yhtälön rationaalijuuret ovat siis 1, 2 ja −2/3.

Rationaalijuurilause rajaa tarkasti, mitkä rationaaliluvut voivat olla yhtälön juuria. Yhdenkään näistä ei kuitenkaan tarvitse olla yhtälön juuri, sillä esimerkiksi yhtälöllä ${\displaystyle Q(x)=x^{5}+3=0}$ ei ole rationaalijuuria. Rationaalijuuritestin perusteella sen ainoat rationaalijuuret voisivat olla 1, −1, −3 ja 3, mutta kuitenkin Q(1)= 4, Q(−1)= 2, Q(3)=246 ja Q(−3) = −240.

Rationaalijuurilause pätee myös muille algebrallisille rakenteille kuin kokonaisluvuille ja rationaaliluvuille. Ylempänä esitetty todistus pätee jokaiselle tekijöihinjakorenkaan R polynomirenkaan R[X] alkiolle, kun tutkitaan polynomin juuria R:n osamääräkunnassa K.^[1]

• [1]