A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezen belül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális zérushelyeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.
Definíció
A Riemann-féle ζ(s) függvényt a
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f460a787ebaf667aaf7805f2b87e542a02836b)
Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.)
ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, az alábbi módon:
![{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1827beb18d5578e3cdae8ae0e35d29d069f2e6)
Aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, … ( ahol a szinusz nulla, és a gamma-függvény véges értéket vesz fel) helyeken zérushelyei vannak, továbbá végtelen sok zérushelye van a
sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.
A függvény értékei egész helyeken
A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:
ahol
az n-edik Bernoulli-szám.
Speciálisan adódik a híres
formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett Basel-probléma). Ismert továbbá, hogy
racionális többszöröse.
A
értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy
irracionális szám-e. Ezt végül 1978-ban Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti,
által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy
valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy
valamelyike irracionális. Bizonyított még, hogy
végtelen sok helyen irracionális.[1]
Euler heurisztikája
A
-függvény nempozitív egész helyein felvett értékei a következőképpen adhatók meg:
és
.
Érdekes módon az utóbbi értékeket Euler heurisztikus módon meghatározta. A
-re vonatkozó okoskodása, azaz
„igazolása” a következő volt:
Legyen
. Ezt egy taggal eltolva
adódik. A két sort tagról tagra összeadva
-et kapunk, azaz
. Hasonlóan legyen
. Ismét eltolva:
. Megint tagonként összeadva a két sort, azt kapjuk, hogy
, azaz
. Legyen végül
. Ekkor
, mivel az
sorból az
sort úgy kaphatjuk, hogy a páros sorszámú tagokhoz rendre hozzáadjuk a sor
tagjait. Innen
adódik.
Kapcsolat a prímszámok eloszlásával
Már Euler felfedezte a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\\&=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\dots \right)\cdot \left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+\dots \right)\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e2d626f374ea32e365fa0ad3b6d77e29c6b287)
szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobb oldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden
alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.
A függvényegyenlet
A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a
függvényt. A
függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak zérushelyei (amelyek azonosak a zéta-függvény zérushelyeivel). Ekkor
teljesül.
A függvényegyenlet aszimmetrikus formája:
A
függvény Weierstrass-féle szorzatelőállítása:
ahol
végigfut
nemtriviális gyökein.
A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásával
A gyökök közvetlen kapcsolatba hozhatók a prímszámok eloszlásával a következő képlettel:
ahol
a nemtriviális gyökökön fut végig és
ahol
a von Mangoldt-függvény, azaz
, ha
, egyébként 0. Mivel
a prímhatvány helyeken ugrik, a fenti képlet ezekre a számokra csak azzal a korrekcióval igaz, hogy ilyen x esetén az utolsó tag
helyett
. Egyszerű okoskodással belátható, hogy
minél közelebb van
-hez, annál közelebb van
-hez. Így például ψ(x)∼x ekvivalens π(x)∼Li(x)-szel, azaz a prímszámtétellel. A jobb oldalon szereplő
tagok
esetén így alakíthatók:
tehát abszolút értékük kb
. Minél közelebb van a nemtriviális gyökök valós része ½-hez, annál közelebb van
-hez. Konkrétan ψ(x)∼x ekvivalens azzal, hogy nincs
alakú gyök és ha
olyan szám amire igaz, hogy minden gyök valós része legfeljebb
, akkor
és így
.
A gyökök eloszlása
A ζ-függvénynek végtelen sok zérushelye van a kritikus sávban. Riemann sejtette, hogy a
,
téglalapban a zérushelyek száma
Ezt von Mangoldt 1895-ben gyengébb hibataggal, majd 1905-ben ezzel a hibataggal bizonyította.
1899-ben de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs zérushely a
tartományban. Ezt Littlewood 1922-ben a
tartományra, majd 1958-ban Korobov és Vinogradov a
tartományra javította (
, tetszőleges).
Jegyzetek
- ↑ T. Rivoal: La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique. 331, 2000, S. 267–270. arxiv:math/0008051. doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap