Szorzatszabály

A matematikában a szorzatszabály alkalmazásával két, vagy több függvény szorzatának a deriváltját lehet kiszámítani.

Egy lehetséges jelöléssel:

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}$

vagy a Leibniz-féle jelöléssel:

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}$.

továbbá:

${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}$.

A három függvény szorzatának deriváltja:

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}$.

Leibniz felfedezése

A szorzatszabály felfedezését Gottfried Wilhelm Leibniznek tulajdonítják, bár Child (2008) szerint Isaac Barrow nevéhez fűződik a felfedezés. Leibniz érvelése: Legyen u(x) és v(x) x két differenciálható függvénye. Ekkor uv differenciálja:

${\displaystyle {\begin{aligned}y+d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)\\d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$

Mivel du•dv kifejezések (du-hoz és dv-hez képest) „elhanyagolhatók”, Leibniz arra a megállapításra jutott, hogy:

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,\!}$

és ez valóban a szorzatszabály differenciál alakja. Ha végig osztunk dx-szel, kapjuk:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}\,\!}$

mely ilyen alakba is írható:

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,\!}$

Példák

• Tegyük fel, hogy differenciálni akarjuk a ƒ(x) = x² sin(x) függvényt. A szorzatszabályt alkalmazva kapjuk:

ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (mivel x² deriváltja: 2x, és sin(x) deriváltja: cos(x)).

• Speciális eset az úgynevezett „konstans szorzási szabály”, mely azt állítja: ha van egy c valós számunk, és egy ƒ(x) differenciálható függvény, akkor cƒ(x) is differenciálható, és a derivált: (c × ƒ)'(x) = c × ƒ '(x). Ez a szorzatszabályból következik, mivel egy konstans deriváltja zéró. Ezt kombinálva a deriváltak szumma-szabályával, mutatja, hogy a differenciálás lineáris.
• A részenkénti integrálás szabálya levezethető a szorzatszabályból, mivel ez a hányadosszabály (annak gyenge változata). Azért „gyenge” változat, mert nem igazolja, hogy a hányados differenciálható, csak azt mondja, egy van egy deriváltja, ha az differenciálható.

Általános hiba

Egy általánosan előforduló hiba, ha feltételezzük, hogy (uv) deriváltja egyenlő (u ′)(v ′).

Kezdetben, Leibniz maga is elkövette ezt a hibát^[1] annak ellenére, hogy világos ellenpéldák léteznek.

Tekintsük ƒ(x) függvényt, melynek deriváltja: ƒ '(x). Ezt úgy is felírhatjuk, hogy ƒ(x) • 1, mivel az 1 neutrális elem a szorzást tekintve.

Ha fenti téves koncepció igaz lenne, akkor (u′)(v′) zérus lenne. Ez azért igaz, mert egy konstans deriváltja mindig zéró, és így a szorzat is zéró lenne.

A szorzat-szabály bizonyítása

Egy precíz bizonyítás adható a deriváltak 'Newton-féle differenciahányados határérték elméletére alapozva.

Ha

${\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}$

és ƒ és g differenciálható egy fix x számnál, akkor

${\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}$

Ekkor a különbség

${\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}$

azaz a nagy téglalap területe mínusz a kis téglalap területe (a lenti ábra szerint).

A nagy és a kis téglalap közötti terület kettő téglalapra osztható, ennek a területnek a szummája^[2]

${\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}$

mert:

${\displaystyle {\Bigg (}f(w)-f(x)+f(x){\Bigg )}{\Bigg (}g(w)-g(x)+g(x){\Bigg )}-f(x)g(x)=}$

${\displaystyle f(w)g(w)-f(w)g(x)+f(w)g(x)-f(x)g(w)+f(x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(w)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)=}$

${\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(w)-f(x)g(x)+f(x)g(w)+f(x)g(x)=}$

${\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}+f(x)g(x)}$

Ezért az (1)-es kifejezés egyenlő:

${\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}$

Feltéve, hogy az összes használt határérték létezik, (4) egyenlő:

${\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}$

és most

${\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)}$

ez igaz, mert f(x) konstans marad, ha  w → x

${\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}$

Ez igaz, mert a differenciálható függvény folytonos (g-ről feltételezve, hogy differenciálható), tehát:

${\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}$    and    ${\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}$

mert f és g',' x-nél differenciálható; Ennek következtében az (5) kifejezés egyenlő:

${\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}$

Általánosítás

Több mint két tényező szorzata

A szorzat-szabályt általánosítani lehet több, mint két tényezőre. Például három tényezőre:

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}\,\!}$.

${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ függvényekre:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$

Magasabb fokú deriváltak

A Leibniz-szabály szerint általánosítható a két tényezős szorzat-szabály n-edik deriváltjára:

${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$

Magasabb fokú parciális deriváltak

Parciális deriváltakra:

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$

ahol az S index végig fut a {1, ..., n}, 2ⁿ alhalmazán. Ha például n=3, akkor:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\\\&{}=u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\\\&{}\qquad +{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}$

Alkalmazások

A szorzat-szabály alkalmazásai között egy bizonyíték:

${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,\!}$

ahol n pozitív egész. (A szabály akkor is érvényes, ha n nem pozitív, vagy nem egész, de akkor a bizonyítás más módszerrel történik). A teljes indukció bizonyítása n-edik kitevőre. Ha n = 0, akkor xⁿ konstans, és nx^n – 1 = 0. A szabály bármely n kitevőre érvényes, és így a következő n + 1-re is:

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(itt használtuk a szorzat-szabályt)}}\\[10pt]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(az indukciós hipotézis)}}\\[12pt]&{}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}}$

Ha a tétel igaz n-re, akkor n + 1-re is igaz.

Tangenstér definíciója

A szorzat-szabály felhasználható az absztrakt tangenstér definiálásra is. Az a tényt használható itt, hogy egy geometria alakzat p pontján definiálni lehet valós értékű függvények deriváltjait a szorzat-szabállyal, és minden ilyen deriválás lineáris teret (vektortér) alkot, mely a kívánt tangenstér.

Irodalom

• Freud Róbert: Lineáris algebra. (hely nélkül): ELTE Eötvös Kiadó. 2004.  
• Fried Ervin: 'Algebra I., Elemi és lineáris algebra'év=2000. (hely nélkül): Nemzeti Tankönyvkiadó.  
• Kuros, A. G: Felsőbb algebra. (hely nélkül): Tankönyvkiadó, Bp. 1975.  

Kapcsolódó szócikkek

• Binomiális együttható
• Részenkénti integrálás
• binomiális tétel
• Hányadosszabály
• Tangenstér
• Vektortér
• Parciális derivált
• Derivált

Források