Grupa symetrii

Grupa symetrii (figury geometrycznej F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} w przestrzeni euklidesowej) – grupa wszystkich izometrii przekształcających daną figurę na samą siebie z działaniem składania przekształceń[1]. Mimo że elementy tej grupy nie muszą być symetriami (dla figur ograniczonych może to być obrót), a dla figur nieograniczonych – przesunięcie równoległe lub symetria z poślizgiem, nazywane są one mimo to symetriami figury F . {\displaystyle {\mathfrak {F}}.} Sens tej nazwy można wyjaśnić następująco: im więcej jest symetrii figury, tym bardziej jest ona symetryczna (inaczej regularna) w naiwnym sensie tego słowa.

Figury na płaszczyźnie (lub w przestrzeni większego wymiaru) mogą wyznaczać grupy symetrii będące różnymi grupami izometrii całej płaszczyzny (lub przestrzeni większego wymiaru).

Grupy symetrii odgrywają dużą rolę w krystalografii.

Przykłady

Trójkąt równoboczny z zaznaczonymi osiami symetrii i środkiem
  • Grupa symetrii trójkąta równobocznego składa się z sześciu przekształceń { Id , R O 120 ∘ , R O 240 ∘ , S l 1 , S l 2 , S l 3 } : {\displaystyle \{{\text{Id}},R_{O}^{120^{\circ }},R_{O}^{240^{\circ }},S_{l_{1}},S_{l_{2}},S_{l_{3}}\}{:}} przekształcenia identycznościowego Id , {\displaystyle {\text{Id}},} dwóch obrotów R O 120 ∘ , R O 240 ∘ {\displaystyle R_{O}^{120^{\circ }},R_{O}^{240^{\circ }}} dokoła środka O {\displaystyle O} trójkąta o kąty 120° i 240° oraz trzech symetrii S l 1 , S l 2 , S l 3 {\displaystyle S_{l_{1}},S_{l_{2}},S_{l_{3}}} względem prostych l 1 , l 2 , l 3 {\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}} zawierających wysokości trójkąta.

Przypisy

  1. ↑ Nikulin, Szafarewicz, op. cit., s. 145–149.

Bibliografia

  • Никулин В.В., Шафаревич И.Р.: Геометрии и группы. Москва: Наука, 1983.
  • Hermann Weyl: Symetria. Warszawa: Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-139-4.