Klasyczny oscylator harmoniczny
| Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.
Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym
bądź równoważnie jako układ, w którym działa siła przeciwnie skierowana do wychylenia układu od położenia równowagi i proporcjonalna do wychylenia
gdzie k - współczynnik proporcjonalności.
Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne
Definicja oscylatora harmonicznego
Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem zwanym równaniem oscylatora harmonicznego
gdzie:
- – przyspieszenie zależne od czasu,
- – położenie zależne od czasu,
- – częstość kołowa drgań oscylatora.
Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe
lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką
Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.
Rozwiązanie równania oscylatora
Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci
gdzie to stałe zależne od warunków początkowych.
Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.
jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań wynosi
natomiast częstotliwość drgań wynosi
Lagranżjan oscylatora
Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać
gdzie:
- – prędkość uogólniona,
- – położenie uogólnione.
Reszta oznaczeń bez zmian.
Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać
gdzie:
- – pęd uogólniony,
- – położenie uogólnione.
Przykłady oscylatorów
Wahadło matematyczne
Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci
Dla małych kątów a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego
gdzie:
- – przyspieszenie kątowe,
- – kąt odchylenia z położenia równowagi,
- – długość wahadła,
- – przyspieszenie ziemskie.
Ciało na sprężynie
- Osobny artykuł: Masa na sprężynie.
Ciało o masie przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli amplituda ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia
Z II zasady dynamiki Newtona można obliczyć przyspieszenie Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego
gdzie:
- – wychylenie ciężarka z położenia równowagi,
- – przyspieszenie ciężarka,
- – masa ciężarka,
- – stałą sprężystości sprężyny.
Dla ciężarka o masie wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.
Oscylator harmoniczny tłumiony
W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać
Oscylator harmoniczny wymuszony
Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.
Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.
gdzie:
- – częstość drgań własnych.
Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych
Dlatego analizę równania można ograniczyć do
gdzie:
- – częstość siły wymuszającej,
- – amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,
- – współczynnik tłumienia.
W przypadku, gdy uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założy się, że równanie oscylatora prostego.
Zobacz też
- p
- d
- e
Działy |
|
---|---|
Sformułowania | |
Koncepcje podstawowe |
|
Podstawowe zagadnienia |
|
Znani uczeni |
- p
- d
- e