Polilogarytm (funkcja Jonquière’a) – funkcja specjalna zdefiniowana w następujący sposób:
[1].
Szereg ten jest zbieżny dla
i dowolnego zespolonego
Z tego względu
to punkt osobliwy dla każdego
Można także zdefiniować polilogarytm w sposób rekurencyjny:
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{1}(z)=-\ln {(1-z)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b985370801b884d7817d27ab9d407b10c9589c)
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)=\int \limits _{0}^{z}{\frac {\mathrm {Li} _{n-1}(t)}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4215554025076e4136ca4cc1107a492a15429062)
dla
Uogólnieniem funkcji jest funkcja przestępna Lercha (ang. Lerch transcendent)[1][2].
Niektóre własności[1]
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{1}(z)=-\ln {(1-z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf3aa4683bda4b74c570bd8d338a43ab47edf85)
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)+\mathrm {Li} _{2}(1-z)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln z\ln {(1-z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6094214fe4df6a648a5749ab040896b91876680e)
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x^{2})=2\left[\mathrm {Li} _{2}(x)+\mathrm {Li} _{2}(-x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114d94479445a05ae9d09fff120b96a6e0d24e9b)
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(-1/x)+\mathrm {Li} _{2}(-x)=-{\frac {1}{6}}\pi ^{2}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781db7aa01ea6eb408765c4bcaadde11c9fc9b34)
- Redukcja do funkcji ζ Riemanna:
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{\nu }(1)=\zeta (\nu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36f7b95584999860eb8dcad92a755f11406865e)
- Redukcja do funkcji η Dirichleta:
- Relacje z funkcja przestępną Lercha (ang. Lerch transcendent)[2]:
Przypisy
- ↑ a b c Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polylogarithm, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2018-01-01] (ang.).
- ↑ a b Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Lerch Transcendent, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2018-01-01] (ang.).
Funkcje specjalne
definiowane całkami | |
---|
inne | - Gudermanna
- W Lamberta
- η (eta)
- ζ (dzeta Riemanna)
- funkcje Bessela
- funkcje Mathieu
- harmoniki sferyczne
|
---|