Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f och g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning f ∘ g (funktionen som avbildar x på f(g(x)) i termer av derivator av f och g och produkten av funktioner enligt
![{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186d9100fc9b8c76250b82db49e4af9557f67602)
Detta kan mer explicit uttryckas i termer av variabeln x. Låt F = f ∘ g, eller ekvivalent, F(x) = f(g(x)) för alla x. Kedjeregeln kan då skrivas
![{\displaystyle F'(x)=f'(g(x))\,g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29a90e6fdef0ed385752d9ce2ccd7e4d9d04a6f)
Kedjeregeln kan också skrivas med Leibniz notation: låt z vara en funktion av variabeln y, vilken själv är en funktion av x (y och z är därmed beroende variabler) och därmed blir även z en funktion av x:
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987d7a982e5fd4c1fec3f5120db588c06e3c43e7)
Funktioner av en variabel
Om
och
, så att
,
anger kedjeregeln att
![{\displaystyle {d \over dx}\,f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\,g^{\prime }(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72ccc6a5491f1e53c012b0c57ed7cb02aecea78)
där
kallas f:s inre derivata.
Med Leibniz notation skrivs detta
![{\displaystyle {dy \over dx}={dy \over dg}{dg \over dx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc308fad40f127762d398a35276e5c2ffdb10c1a)
då
är den inre derivatan.
Funktioner av flera variabler
Inom flervariabelanalys fungerar kedjeregeln på ett liknande sätt.
Om
och ![{\displaystyle \mathbf {u} (x)=(u_{1}(x),...,u_{n}(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a36e5b3d12cdbc36f5f3a1024531cebef3537ae)
så är
.
Eftersom gradienten
![{\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial u_{1}}},...,{\frac {\partial f}{\partial u_{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff83da357d6e001c9cb6ff73cab3c131eca74d9)
och derivatan av den inre funktionen u är
![{\displaystyle \mathbf {u} '(x)=\left({\frac {du_{1}}{dx}},...,{\frac {du_{n}}{dx}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a5b5839f15c06dc77e1036177562eb071c6ef2)
inser vi att derivatan
kan skrivas som en skalärprodukt enligt
.